Výpočet paprsku pro působení soustředěného zatížení – Doktor Lom

Pod pojmem „nosník“ se zpravidla rozumí jednopolová tyč konstantního průřezu po délce, bez konzol, na kloubových podpěrách. Pojem „koncentrované (bodové) zatížení“ je definován samostatně. Níže se podíváme na příklad výpočtu takového paprsku.

Zkušenému stavebnímu inženýrovi takový výpočet samozřejmě nečiní žádný problém. A pokud je uprostřed paprsku aplikováno koncentrované zatížení, pak inženýr často provede přibližný výpočet v hlavě během několika sekund, zvláště pokud jsou hodnoty zatížení i délky rozpětí vyjádřeny jedním číslicemi. jak to dělá? To zjistíme teď.

Vzhledem k:

1. Jednopolový nosník konstantního průřezu po dvou kloubových podpěrách A a B, bez konzol, délka l = 4.6 m je umístěn vodorovně.

2. Kolmo k neutrální ose nosníku působí soustředěné zatížení Q = 3.2 kN ve vzdálenosti a = 1.8 m od podpory A (ve vzdálenosti b = 2.8 m od podpory B).

To je v podstatě vše, co potřebujete vědět v první fázi výpočtu – stanovení maximálních napětí v průřezu nosníku. A ano, délku paprsku lze měřit kromě metrů i v centimetrech, milimetrech, palcích, stopách atd. Zatížení lze také označit velkými písmeny P, F a měřit v kilogramech, gramech, tunách, librách atd. — to nemá zásadní význam a žádným způsobem to neovlivňuje metodiku výpočtu.

Pokud vás teoretické principy výpočtu nezajímají a chcete si pouze vypočítat svůj nosník, můžete použít kalkulačka pro toto schéma výpočtu (tento kalkulátor je však pouze pro dřevěné nosníky, časem bude i pro ocelové).

Dále jsou 2 možnosti výpočtu:

1. Zjednodušené pomocí hotových vzorců, které jsou uvedeny doslova v každé referenční knize o pevnosti materiálů. Pro osobu, která se zabývá soukromou výstavbou a která chce vypočítat ten či onen paprsek, je takový výpočet tak akorát.

2. Klasické, založené na rovnovážných rovnicích soustavy a metodě počátečních parametrů. Tento výpočet je od studentů nejčastěji vyžadován. Ale pro lidi, kteří chtějí vědět, odkud pocházejí určité vzorce, se bude hodit i příklad takového výpočtu.

Podívejme se na tyto možnosti podrobněji.

1. Zjednodušený výpočet (pomocí hotových vzorců)

Výpočet se provádí podle vzorců konstrukčního schématu 1.2 pro kloubový nosník.

1.1 Stanovení reakcí podpory:

A = bQ/l = 2.8 3.2/4.6 = 1.9478 kN (658.1.1)

B = aQ/l = 1.8 3.2/4.6 = 1.2522 kN (658.1.2)

V souladu s tím bude maximální smyková síla působící v průřezech nosníku „Q“ = 1.9478 kN

1.2. Určení maximálního ohybového momentu:

Maximální ohybový moment bude působit v průřezu v místě působení soustředěného zatížení a bude:

M = Aa = 1.9478 1.8 = 3.5061 kNm (658.2.1)

M = Bb = 1.2522 2.8 = 3.5062 kNm (658.2.2)

Poznámka: rozdíl hodnot na čtvrtém desetinném místě byl způsoben zaokrouhlením hodnot reakce podpory, takže je vše normální.

1.3. Výběr části nosníku:

3.1 Pro dřevěný nosník s návrhovou odolností R = 13 MPa (13000 kPa) bude požadovaný moment odporu:

W_tr = M/R = 3.5061/13000 0.0002697 = 3 m269.7 (3 cmXNUMX) (658.3.1)

Průřezy dřevěných trámů jsou zpravidla obdélníkové. Moment odporu obdélníkového průřezu je určen následujícím vzorcem:

W = bh 2/6 (658.3.2)

Pak jsou možné různé možnosti, například s výškou sekce nosníku h = 15 cm nebude požadovaná šířka sekce menší než:

b = 6 W/h 2 = 6 269.7/15 2 = 7.2 cm (658.3.3)

s výškou sekce nosníku h = 20 cm:

b = 6 W/h 2 = 6 269.7/20 2 = 4.05 cm (658.3.4)

A tak dále. Pokud je na začátku zadána šířka, například b = 5 cm, pak se pro určení požadované výšky sekce použije následující vzorec:

v = √ 6W/b = √ 6 269.7/5 = 18 cm (658.3.5)

To vše však není nic jiného než teorie v praxi se používají dřevěné trámy o průřezu 20×5 cm nebo 15×10 cm a pro jeden z těchto úseků by mělo být provedeno další testování. Dále bude sekce 20×5 cm považována za nejekonomičtější z hlediska spotřeby materiálu. Moment odporu takového úseku bude:

W = 5/20 = 2 cm6 (658.3.6)

Pokud má průřez dřevěného trámu tvar jiný než obdélníkový nebo čtvercový, pak pro určení momentu odporu můžete použít jeden z následujících vzorců, a pokud je tvar průřezu obzvláště složitý, nejprve určete moment setrvačnosti a poté moment odporu.

3.2 Pro ocelový nosník s návrhovou únosností R = 210 MPa (210000 kPa) je požadovaný moment odporu:

W_tr = M/R = 3.5061/210000 = 1.67-10-5 m3 (16.7 cm3) (658.3.7)

Dále se vybere požadovaný úsek podle jednoho ze sortimentů.

No, výběr sekce železobetonových nosníků je samostatné velké téma.

1.4. Zkoušky na tangenciální napětí (pro úsek 5×20 cm nebo 0.05×0.2 m):

Vypočítaná odolnost proti vyštípnutí podél vlákna (pro dřevo druhé třídy) R_ck = 1.6 MPa.

Pro obdélníkový průřez jsou maximální smyková napětí určena následujícím vzorcem:

Požadavek na smyková napětí je splněn.

Pro řezy jiných tvarů se hodnota tečných napětí určuje pomocí Zhuravského vzorce.

Standardní ocelové profily obvykle nevyžadují dodatečné zkoušení na smyková napětí.

1.5. Definice průhybu:

U dřevěného trámu o průřezu 20×5 cm bude moment setrvačnosti:

I = Wh/2 = 333.33 20/2 = 3333.3 cm 4 (0.00003333 m 4) (658.5.1)

Modul pružnosti dřeva je E = 1·10 4 MPa (10 7 kPa)

Vzhledem k tomu, že soustředěné zatížení nosníku není aplikováno uprostřed rozpětí, neexistuje v tomto případě žádný hotový vzorec pro určení průhybu. Odhadneme tedy průhyb přibližně. Nejprve určíme průhyb v místě působení koncentrovaného zatížení:

f = Qb2a2/(3EI) = 0.0177 m (1.77 cm) (658.5.2)

Pokud by uprostřed nosníku působilo soustředěné zatížení, pak by maximální průhyb byl:

f = Ql3/(48EI) = 0.0194 m (1.94 cm) (658.5.3)

Jak vidíte, rozdíl je poměrně malý a podle mého názoru není pro zjednodušený výpočet potřeba přesnější určení průhybu. No, pak vše závisí na konstrukčních požadavcích na průhyb. V tomto případě je průhyb 1/237 délky rozpětí nosníku.

To je celý zjednodušený výpočet. „Jak je to zjednodušené, když existuje pouze jeden jediný list textu?“ – namítne vybíravý čtenář. je to tak. Když ale specialista staré školy počítá, nakreslí na papír maximálně 7-8 vzorců a trvá to 5-10 minut. No, pokud, jak jsem již řekl, soustředěné zatížení, například 300 kg, je aplikováno uprostřed rozpětí dlouhého 6 metrů, pak maximální moment bude M = 400 kgm a požadovaný moment odporu je přibližně W = 300 cm 2 a k jeho určení opravdu stačí pár sekund .

2. Klasický výpočet

No a teď přejděme ke klasickému výpočtu. Hned však řeknu, že se liší od zjednodušeného pouze v prvních dvou bodech – stanovení podporových reakcí a maximálních napětí jsou stejné jako ty, které jsou uvedeny výše. No a přidáme definici počátečního a konečného úhlu natočení, diagramy příčných sil, ohybových momentů, úhlů natočení a průhybu, kde bychom bez toho v klasických výpočtech byli.

2.1. Stanovení podpůrných reakcí

K určení podpěrné reakce A použijeme třetí rovnici statické rovnováhy soustavy (rovnice momentů kolem bodu B):

ΣМ_В = Al – Qb = 0 (658.6.1)

AI = Qb; (658.6.2)

A = Qb/l = 2.8 3.2/4.6 = 1.9478 kN (658.1.1)

K určení podpěrné reakce B použijeme i třetí rovnici statické rovnováhy soustavy (rovnice momentů k bodu A):

ΣМ_А = Вl – Qа = 0 (658.6.3)

Вl = Qа; (658.6.4)

B = aQ/l = 1.8 3.2/4.6 = 1.2522 kN (658.1.2)

Pro kontrolu použijeme druhou rovnici statické rovnováhy systému:

∑_у = Q – A – B = 0 (658.6.5)

3.2 – 1.9478 – 1.2522 = 0 (658.6.6)

V bodě A jsou příčné síly podmíněně rovné nule.

Rovnice příčných sil v oblasti od bodu A do bodu působení soustředěného zatížení bude mít následující tvar:

„Q“ = A = 1.9478 kN (658.6.7)

v úseku od bodu působení zatížení do bodu B:

„Q“ = A – Q = 1.9478 – 3.2 = – 1.2522 kN (658.6.8)

„Q“ = A – Q + B = 1.9478 – 3.2 + 1.2522 = 0 (658.6.9)

Tato data jsou dostatečná pro sestavení diagramů příčných sil.

2.2. Určení ohybových momentů:

Pro určení ohybových momentů působících v průřezech nosníku se používá řezová metoda, podle které v řezu od podpory A do místa působení soustředěného zatížení bude mít momentová rovnice následující tvar:

M = Ah (658.7.1)

kde x je vzdálenost od podpory A k uvažovanému úseku nosníku v bodě A (na začátku nosníku a na začátku souřadnicové osy x):

M = Ao = 0 (658.7.2)

v místě aplikace koncentrované zátěže:

M = Aa = 3.5061 kNm (658.2.1)

Po bodu působení soustředěného zatížení má momentová rovnice pro uvažované průřezy tvar:

M = Ax – Q(x – a) (658.7.3)

respektive v místě aplikace koncentrovaného zatížení:

M = Aa – Q(a – a) = Aa (658.7.4)

v bodě B (na konci paprsku):

M = Al – Qb = Qbl/l – Qb = Qb – Qb = 0 (658.7.5)

Poznámka: protože se hodnota ohybového momentu mění lineárně, pak při určování dalších hodnot momentu pro mezilehlé body podél osy х není nutné.

2.3 Stanovení úhlů natočení a průhybů průřezu.

Rovnice úhlu natočení je výsledkem integrace momentové rovnice. A jak víte, při integraci se objeví integrační konstanta, v tomto případě počáteční úhel natočení Θ_А, která se v tomto případě nerovná nule. Kromě toho je hodnota úhlů natočení a průhybů ovlivněna tuhostí příslušného nosníku, vyjádřenou prostřednictvím EI, tzn. Čím větší je tuhost nosníku (modul pružnosti a moment setrvačnosti), tím menší jsou výsledné úhly natočení a průhyby.

Rovnice úhlů rotace pro náš paprsek v oblasti od počátku souřadnic (bod A) do bodu aplikace koncentrovaného zatížení bude vypadat takto:

θ_x = ∫Mdx/EI = ∫Axdx/EI = — Θ_А + Ax 2 /2EI (658.8.1)

a v řezu od místa působení koncentrovaného zatížení do bodu B takto:

θ_x = – Θ_А + Ax2/2EI – Q(x – a)2/2EI (658.8.2)

Rovnice průhybu je výsledkem integrace rovnice úhlů rotace v uvažované oblasti:

f_х = ∫Θ_Аdx = – θ_Ax + Ax 3 /6EI (658.8.3)

Jak vidíme, v tomto případě je integrační konstanta – počáteční průhyb – rovna nule a to je logické – na podporách nemůže dojít k průhybu (alespoň teoreticky). To vám umožní vytvořit další rovnici průhybu pro jednu z podpor, například pro bod B bude mít rovnice průhybu tvar:

f_В = — θ_Al + Al3/6EI – Qb3/6EI = 0 (658.8.4)

θ_Al = AI3/6EI – Qb3/6EI (658.8.5)

θ_A = Qbl3/l2EI – Qb6/l3EI (658.8.6)

θ_A = Qb(2-b2)/6EI (658.8.7)

nebo (běžnější vzorec):

θ_A = Ql2 (b/l – b3/l3)/6EI = 4.3242/EI (658.8.8)

Provedením podobného výpočtu pomocí rovnice průhybů na podpěře A získáme hodnotu konečného úhlu natočení:

θ_В = Ql2 (a/l – a3/l3)/6EI = 3.7398/EI (658.8.9)

Kontrola správnosti výpočtů:

θ_B = – Θ_А + Ax 2 /2EI – Q(x – a) 2 /2EI = (- 4.3242 + 20.6077 – 12.544)/EI = 3.7395/EI (658.8.10)

Pro sestavení diagramu úhlů natočení je nutné určit ještě alespoň jeden bod – místo, kde bude úhel natočení průřezu vůči neutrální ose paprsku nulový a průhyb bude maximální. Protože tento bod bude napravo od bodu aplikace zatížení, pro zjednodušení výpočtů uvažujte nosník od konce, nikoli od začátku:

θ_x = – Θ_В + Bx2/2EI = 0 (658.8.11)

Θ_В = Bx2/2EI (658.8.12)

3.7398 = 1.2522 x 2/2 (658.8.13)

x = 2.444 m (658.8.14)

nebo ve vzdálenosti 4.6 – 2.444 = 2.156 od začátku paprsku

Jak vidíte, tento bod se nachází relativně blízko středu rozpětí nosníku, takže se zjednodušeným výpočtem jsme se moc nemýlili. Odklon v tomto bodě bude:

f_2.444 = — θ_В2.444 + V 2.444 3 /6EI = – 6.0934/EI (658.8.15)

Pro daný dřevěný trám tedy bude maximální průhyb:

f_max = – 6.0934/(10 7 0.00003333) = 0.0183 m nebo 1.83 cm (658.8.16)

Aby byly diagramy úhlů natočení a průhybů univerzální a vhodné pro dřevěné, ocelové, železobetonové a jakékoli jiné nosníky, neuvádějí diagramy absolutní hodnoty, ale relativní. Tito. obě strany rovnice se vynásobí EI.

2.4. Sestrojení diagramů příčných sil a ohybových momentů:

Na základě dříve získaných dat sestavujeme diagramy:

Obrázek 658.1. Návrhový diagram (a), nahrazení podpor reaktivními silami (b), diagram příčných sil (c), diagram ohybových momentů (d), diagram úhlů natočení (e), diagram průhybů (f).

Na diagram příčných sil v počátku (v bodě A) vyneseme směrem nahoru hodnotu podpěrné reakce A podle směru působení reaktivní síly. Protože hodnota příčných sil podle rovnice nezávisí na hodnotě proměnné х, pak vedeme přímku rovnoběžnou se souřadnicovou osou do bodu působení soustředěného zatížení. V místě působení soustředěného zatížení posuneme hodnotu zatížení dolů, v důsledku čehož získáme novou hodnotu diagramu příčných sil, rovnou hodnotě reakce podpory B. Tento bod spojíme s bod působení podpěrné reakce B. V tomto bodě je vynesena hodnota podpěrné reakce B, v konečném důsledku jsou příčné síly u nosníků konečného řezu podmíněně rovny nule, jako na začátku.

Protože máme nosník na kloubových podporách, který je vystaven pouze soustředěnému zatížení, hodnoty momentů na podporách jsou rovné nule, jak jsme určili dříve. Na diagram momentů v místě působení soustředěného zatížení zapíšeme hodnotu maximálního momentu. Tyto body spojíme přímkami, jak je znázorněno na obrázku.

Poznámka: Hodnotu momentu je možné posunout nahoru, jak je u konstruktérů strojů a mechanismů zvykem, to nemá zásadní význam. Je prostě zvykem, že stavitelé konstruují momentové diagramy na tahové straně sekce.

Na diagram úhlů natočení v bodě A vyneseme hodnotu počátečního úhlu natočení, v bodě B – hodnotu konečného úhlu natočení. Tyto body spojíme čtvercovou parabolou tak, aby procházela bodem umístěným ve vzdálenosti 2.156 m od počátku.

Na diagram úhlů natočení vyneseme hodnotu maximální výchylky ve vzdálenosti 2.156 m od počátku. Nakreslíme kubickou parabolu bodem A, bodem maximální výchylky a bodem B. Pokud s tím nastanou problémy, můžete vypočítat hodnoty jak výchylek, tak úhlů natočení pro jakékoli jiné průřezy paprsku.

To je celý výpočet.

To je prozatím vše.

Přístup k plné verzi tohoto článku a všem ostatním článkům na tomto webu stojí pouze 30 rublů. Po úspěšném dokončení překladu se otevře stránka s poděkováním, emailovou adresou a pokračováním článku. Pokud se chcete zeptat na výpočet konstrukcí, použijte prosím tuto adresu. Předem děkuji.)). Pokud se stránka neotevře, pravděpodobně jste provedli převod z jiné peněženky Yandex, ale v žádném případě se nemusíte obávat. Hlavní je při převodu přesně uvést váš e-mail a já se vám určitě ozvu. Kromě toho můžete vždy přidat svůj komentář. Více podrobností v článku “Domluvte si schůzku s lékařem”

Pro terminály číslo peněženky Yandex 410012390761783

Číslo karty Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEJ GUTOV

• Výpočet konstrukcí podle regulačních dokumentů. Výpočet dřevěného trámu
• Konstrukční výpočty. Příklady výpočtů

Poznámka: Možná se vaše otázka, zejména pokud se týká statických výpočtů, neobjeví v obecném seznamu nebo zůstane nezodpovězena, i když ji položíte 20krát za sebou. Proč je dostatečně podrobně vysvětleno v článku „Domluvte si schůzku s lékařem“ (odkaz v záhlaví webu).

35215208680f6fbd